Kaip išspręsti lygtis su šaknimis

Kartais lygtyse yra šaknies ženklas. Daugeliui studentų atrodo, kad labai sunku išspręsti tokias lygtis „su šaknimis“ arba, teisingiau tariant, neracionalias lygtis, tačiau taip nėra.

Naudojimo instrukcija

1

Skirtingai nuo kitų lygčių tipų, pavyzdžiui, kvadratinių ar tiesinių lygčių sistemų, nėra standartinio lygčių su šaknimis sprendimo algoritmo ar, tiksliau, neracionalių lygčių. Kiekvienu konkrečiu atveju būtina pasirinkti tinkamiausią sprendimo metodą, remiantis lygties „išvaizda“ ir ypatybėmis.

Lygties dalių pakėlimas į tą patį laipsnį.

Dažniausiai lygčių su šaknimis sprendimui (neracionalios lygtys) naudojamos abiejų lygties pusių iškėlimas į tą patį laipsnį. Paprastai iki laipsnio, prilygstančio šaknies laipsniui (kvadrato formos šaknies kvadratas, kubo - kubinės šaknies). Reikėtų nepamiršti, kad, pakeldamas lygtį kairėje ir dešinėje pusėse, jis gali turėti „papildomų“ šaknų. Todėl tokiu atveju reikia patikrinti gautas šaknis, jas pakeičiant lygtimi. Ypatingas dėmesys sprendžiant lygtis su kvadratinėmis (lygiomis) šaknimis turėtų būti skiriamas kintamojo (ODZ) leistinų verčių diapazonui. Kartais norint išspręsti arba žymiai supaprastinti lygtį, pakanka vien ODL įvertinimo.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį:

√ (5x-16) = x-2

Mes išlyginame abi lygties puses:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², iš kur mes iš eilės gauname:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Išspręsdami gautą kvadratinę lygtį, randame jos šaknis:

x = (9 ± √ (81–4 * 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Pakeisdami abi rastas šaknis į pradinę lygtį, gauname teisingą lygybę. Todėl abu skaičiai yra lygties sprendimai.

2

Naujo kintamojo įvedimo metodas.

Kartais patogiau rasti „lygties su šaknimis“ (neracionalios lygties) šaknis, įvedant naujus kintamuosius. Tiesą sakant, šio metodo esmė yra tiesiog sumažinta iki kompaktiškesnio sprendimo įrašo, t. užuot kiekvieną kartą rašiusi nepatogią išraišką, ji pakeičiama legenda.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: 2x + √x-3 = 0

Šią lygtį galite išspręsti padailinę abi puses. Tačiau patys skaičiavimai atrodys gana sunkūs. Įdiegus naują kintamąjį, sprendimo procesas taps daug elegantiškesnis:

Pristatome naują kintamąjį: y = √ x

Tada gauname paprastąją kvadratinę lygtį:

2y² + y-3 = 0, su kintamuoju y.

Išspręsdami gautą lygtį, randame dvi šaknis:

y1 = 1 ir y2 = -3 / 2, pakeisdami rastas šaknis naujojo kintamojo (y) išraiškoje, gausime:

√ x = 1 ir √ x = -3 / 2.

Kadangi kvadratinės šaknies vertė negali būti neigiamas skaičius (jei neliečiate sudėtingų skaičių srities), mes gauname vienintelį sprendimą:

x = 1.

kvadratinės šaknies tirpalas