Kaip apskaičiuoti vektorių pastatytos paralelės diagramos plotą

Ant bet kurių dviejų nelinijinių ir nulio neturinčių vektorių galima sudaryti paralelę. Šie du vektoriai sudarys paralelę, jei sujungsite jų kilmę viename taške. Užbaikite figūros šonus.

Naudojimo instrukcija

1

Raskite vektorių ilgį, jei nurodytos jų koordinatės. Tarkime, kad vektorius A turi koordinates (a1, a2) plokštumoje. Tada vektoriaus A ilgis yra | A | = √ (a1² + a2²). Panašiai randame vektoriaus B modulį: | B | = √ (b1² + b2²), kur b1 ir b2 yra vektoriaus B koordinatės plokštumoje.

2

Paralelės diagramos plotas nustatomas pagal formulę S = | A | • | B | • sin (A ^ B), kur A ^ B yra kampas tarp nurodytų vektorių A ir B. Sinusą galima rasti per kosinusą naudojant pagrindinę trigonometrinę tapatybę: sin²α + cos²α =. 1. Kosinusas gali būti išreikštas vektorių skalės sandauga, užrašyta koordinatėmis.

3

Skaliarinis vektoriaus A vektoriaus B sandauga žymima (A, B). Pagal apibrėžimą jis lygus (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). O koordinatėmis skaliarinis sandauga užrašomas taip: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Iš čia galime išreikšti kampo tarp vektorių kosinusą: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Skaitiklyje skaliarinis sandauga, vardiklyje - vektorių ilgiai.

4

Dabar galime išreikšti sinusą iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Jei darysime prielaidą, kad kampas α tarp vektorių yra aštrus, minusą su sinusu galima atmesti, paliekant tik pliuso ženklą, nes ūmaus kampo sinusas gali būti tik teigiamas (arba nulis esant nuliniam kampui, bet čia kampas nėra nulis, tai rodoma tokioje būsenoje) vektorių nelinijiškumas).

5

Dabar sinuso formulėje turime pakeisti kosinuso koordinačių išraišką. Po to lieka tik parašyti rezultatą į paralelės diagramos plotą. Jei visa tai padaryta ir supaprastinta skaitinė išraiška, paaiškėja, kad S = a1 • b2-a2 • b1. Taigi vektoriams A (a1, a2) ir B (b1, b2) sukonstruotos paralelės diagrama nustatoma pagal formulę S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Gauta išraiška yra matricos, kurią sudaro vektorių A ir B koordinatės, determinantas: a1 a2b1 b2.

7

Iš tiesų, norint gauti antrosios dimensijos matricos determinantą, reikia padauginti pagrindinės įstrižainės elementus (a1, b2) ir iš jos atimti šoninės įstrižainės elementų sandaugą (a2, b1).